Als erster Schritt wird der Funktionsraum diskretisiert, indem man
über das Grundgebiet ein zweidimensionales quadratisches
Punktgitter (Gitterkonstante h) legt.
Nun werden alle Gitterpunkte, die im Inneren des Grundgebietes
liegen (innere Gitterpunkte oder Netzpunkte) geeignet
durchnumeriert.
Der i -te von insgesamt imax Gitterpunkten habe die
Koordinaten
xi;yi.
Nun werden an jedem inneren Gitterpunkt die Differential-Quotienten
in der Laplace-Gleichung durch entsprechende Differenzen-Quotienten ersetzt.
Im gegebenen Programm werden dafür die einfachen "Dreipunkt-Formelnbeginequation
&part#partial;^2 u&part#partial;x^2 &mid#mid;_x_i;y_i
&ap#approx;u_i,r-2u_i+u_i,lh^2
beziehungsweise
Setzt man () und () in die Dgl. ()
ein, so erhält man für den i-ten Punkt die
Differenzengleichung
Die Gesamtheit aller Differenzengleichungen bildet ein
homogenes, lineares Gleichungssystem.
Inhomogene Elemente kommen über jene
Gitterpunkte ins Spiel,
die nicht nach allen 4 Seiten einen Gitterpunkt als Nachbarn
haben. Solche fehlenden Nachbarpunkteliegen entweder auf der
Randkurve, wenn das Gitter genau in das Grundgebiet hineinpaßt,
wie das entlang der geradlinigen Begrenzungen
(Punkte 5
12
1) der Fall ist,
oder sie liegen außerhalb des Grundgebietes, z. B. außerhalb der
Kreislinie (Punkte 1
5). In letzterem Fall wird der Funktionswert
an den fehlenden Nachbarpunktenünter Verwendung der nächstliegenden
Randwerte linear extrapoliert.
In jedem Fall führen fehlende Nachbarpunkte zu inhomogenen
Differenzengleichungen.
Insgesamt erhält man also
für die ui ein inhomogenes, lineares Gleichungssystem mit
einer für Differenzenverfahren charakteristischen schwach-besetzten
Koeffizientenmatrix mit bandförmiger Struktur.
Zur numerischen Auswertung solcher Systeme
eignet sich ganz besonders das Gauss-Seidel-
Verfahren.
Christian Sommer 2002-01-21